11)

Considere un partido de truco entre cuatro jugadores que dura 15 manos. Encuentre la probabilidad de que:

a) a un dado jugador nunca le toque el ancho de espadas [Rta: 0.31]

b) el as de espadas no salga en todo el partido [Rta: 0.0047]

Solución:

Primero lo hago para una mano. Una mano de un partido de truco de 4 personas sería un conjunto de 15 cartas donde no importa el orden. Puedo pensar a las cartas como números del 1 al 40, en ese caso, el conjunto de todas las posibles manos es

$$\Omega = \{ (a_1, a_2, … , a_{12}) \mid a_i \in [1, 40], a_i \neq a_j \forall i, j \}$$

entonces la cantidad de posibles manos es

$$|\Omega| = 40 \times 39 \times … \times 29 = \frac{40!}{28!}.$$

Ahora, en caso de que salga el ancho en toda la mano, una de las cartas ya está definida. Si pienso que el ancho es la carta 1, entonces el conjunto de casos en los que sale el ancho es

$$A = \{ (1, a_2, a_3, \ldots , a_{12}), (a_1, 1, a_3, \ldots , a_{12}), \ldots , (a_1, \ldots , a_{11}, 1) \mid a_i \in [1, 40], a_i \neq a_j \forall i, j\},$$

así que el cardinal de A es

$$|A| = 12 \times \frac{39!}{28!},$$

por lo que la probabilidad de que salga el ancho en una mano es

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{12}{40} = 0.3,$$

que es lo esperado intuitivamente.

Si lo simulo:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def jugar_manos(n_manos, n_cartas, ancho=1):
    manos = np.repeat(0, repeats=n_cartas*n_manos).reshape(n_manos, n_cartas)
    for i in range(manos.shape[0]):
        manos[i,:] = np.random.default_rng().choice(np.arange(1, 41), size=12, replace=False)
    freq_ancho = np.sum(np.count_nonzero(manos == 1, axis=1))
    return manos, freq_ancho/manos.shape[0]

n_manos = 15000
n_cartas = 12
manos, p_a = jugar_manos(n_manos, n_cartas)
print(p_a)

Ahora hay que ver la probabilidad de sacar el ancho para una dada mano. La cantidad de posibles manos de 3 cartas esta dada por el cardinal del conjunto

$$\Omega_B = \{(b_1, b_2, b_3) \mid b_i \in \{a_i\}_{i=1}^{i=12}, b_i \neq b_j \forall i, j \},$$

que es

$$|\Omega_B| = 12 \times 11 \times 10.$$

Si pedimos que aparezca el ancho (para esto se tiene que haber dado A) obtenemos el conjunto

$$B = \{ (1, b_2, b_3), (b_1, 1, b_3), (b_1, b_2, 1) \mid b_i \in \{a_i\}_{i=1}^{i=11}, b_i \neq b_j \forall i, j \},$$

que tiene cardinal

$$|B| = 3 \times 11 \times 10,$$

por lo que la probabilidad de sacar el ancho dado que el ancho salió en la mano es

$$P(B|A) = \frac{|B|}{|\Omega_B|} = 3/12 = 0.25.$$

Podemos verificarlo numéricamente usando las manos que generamos antes:

manos_con_ancho = manos[np.count_nonzero(manos == 1, axis=1) == 1]
p_ba = np.sum(np.count_nonzero(manos_con_ancho[:, :3] == 1, axis=1))/manos_con_ancho.shape[0]
print(freq_ancho_mano)

Entonces, para que te toque el ancho en una mano, primero tenés que tener la suerte de que el ancho salga en la mano (P(A)), y luego, de que te toque a vos dado que salió en la mano (P(B|A)). Entonces, la probabilidad de que te toque el ancho en una mano es

$$P(ancho) = P(B|A)P(A) = 0.25 \times 0.3 = 0.075.$$

Podemos verificarlo nuevamente con los mismos datos:

p_ancho = np.sum(np.count_nonzero(manos[:,:3] == 1, axis=1))/manos.shape[0]
print(p_ancho)

Ahora, esa es la probabilidad de que a un dado jugador le toque el ancho de espadas en una mano. Por lo tanto, la probabilidad de que no le toque es

$$\tilde{P}(ancho)=1 - P(ancho) = 0.925.$$

Entonces, la probabilidad de que no le toque en 15 manos, será

$$\tilde{P}(ancho)^{15} \approx 0.31$$ b)

La probabilidad de que el ancho no salga en todo el partido es la probabilidad de que no salga en una mano, elevado a la 15:

$$\tilde{P}(A)^{15} = (1 - P(A))^{15} = 4.7 \times 10^{-4}$$